Triángulos

Teoría de Triángulos

El Triángulo

Definimos al triángulo como aquella figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmento de rectas.
También se le conoce como el Polígono de tres lados.


el triángulo


Elementos del Triángulo

elementos del triángulo

Vértices: A, B y C
Lados: segmento AB, segmento BC y segmento AC
Ángulos internos: α, β, Ɵ
Ángulos externos: x, y, z
NOTACIÓN: triánguloABC
Se lee: Triángulo ABC.
Observación: La notación también puede escribirse como triánguloCBA, en realidad no existe una ley que diga lo contrario. Los dos son válidos.


Regiones del Triángulo

regiones de un triángulo

Todo triangulo divide al plano que lo contiene en tres conjuntos de puntos: región interior, región exterior y el triángulo propiamente dicho.
A la reunión de un triángulo y la región interior se le denomina REGIÓN TRIANGULAR.

I. PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO

Se denomina perímetro de un triángulo a la línea cerrada que la limita.

Para calcular el perímetro del triángulo se debe sumar la longitud de esta línea cerrada; es decir, sumar las longitudes de lados del triángulo. 
Veamos la siguiente figura:

perímetro de un triángulo
En el triánguloABC: a, b y c son las longitudes de los lados.

Perímetro del triánguloABC = a + b + c


Ejemplo:

En la figura mostrada, hallar el perímetro del triángulo ABC. ejemplo de perímetro de triángulo
Resolución:

El perímetro del triángulo ABC es la suma de los tres lados del triángulo; sin embargo, aquí tenemos un problema debido a que no todas las longitudes de los lados están expresados en la misma unidad.
Para realizar un buen cálculo del perímetro del triángulo (y en cualquier figura geométrica) se recomienda pasar a una sola unidad todos los lados.

lado BC a metros, sería: lado BC= 185cm = 1.85m

entonces Perímetro del triánguloABC: 2.5m + 1.85m + 3.7m
por lo tantoPerímetro del triánguloABC: 8.05m



II. PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

Estas propiedades, también llamado teoremas fundamentales del triángulo son la base de la teoría de este importante tema.
En los problemas sobre triángulos casi siempre se aplica por lo menos una de estas propiedades, por ello se pide mucha atención en este capítulo.

A continuación, presentamos las propiedades con demostraciones y ejemplos aplicativos para su mejor entendimiento.



A) SUMA DE ÁNGULOS INTERNOS

En un triángulo se cumple que la suma de los ángulos internos es igual a 180°.

angulos internos del triángulo

α + β + Ɵ = 180°


Demostración:

Por el vértice "B" se traza una recta paralela al lado AC. Demostración de la suma de ángulos internos del triángulo.
entonces en "B" se cumple:

α + β + Ɵ = 180°

Ejemplo 01

En el triángulo mostrado calcular el valor de "x". ejemplo de suma de ángulos internos en el triángulo
Resolución:

En el triánguloABC: "x", 40° y 100° son ángulos interno. Entonces aplicamos propiedad.

entonces 45° + 100° + x = 180°
por lo tantox = 35°


Ejemplo 02

ejemplo02 de triángulos
Del triángulo ABC, calcular "x".
Resolución:

Siendo “x” la incógnita. Aplicamos propiedad de suma de ángulos internos en el triángulo ABC:

entonces x + 2x + 3x = 180°
entonces 6x = 180°
por lo tantox = 30°


B) SUMA DE ÁNGULOS EXTERNOS

La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo, trazado uno por vértice es 360°.

ángulo externos del triángulo

x + y + z = 360°


Demostración:

En cada vértice del triángulo ABC colocamos el ángulo suplementario (ver figura). demostración de la segunda propiedad
Por la primera propiedad en el triánguloABC:
entonces 180° - x + 180° - y + 180° - Z = 180°

x + y + z = 360°


Ejemplo:

En el triángulo mostrado calcular el valor de "x".
ejemplo de la propiedad 2. Suma de ángulos exteriores de un triángulo
Resolución:

Se observa en el triángulo ABC: "2x" y "3x" son ángulos exteriores en los vértices "A" y "C" respectivamente.

ejemplo02 de triángulos
Realizando un bosquejo en "B", el ángulo Ɵ sería el ángulo exterior, pero también es el suplemento de 70°.
entonces Ɵ = 110°

Aplicando la propiedad de suma de ángulos externos en el triánguloABC:

2x + 110° + 3x = 360°
entonces
5x = 250°

por lo tanto x = 50°


C) RELACIÓN ENTRE UN ÁNGULO EXTERNO Y DOS ÁNGULOS INTERNOS

La suma de dos ángulos internos de un triángulo es igual al ángulo externo no adyacente a ellos.

suma de dos ángulos internos da el ángulo externo no adyacente a éllos.

x = α + β


Demostración:

Por el vértice "B" se traza una recta paralela al lado AC.
demostración de la segunda propiedad
Por ángulos alternos internos.

x = α + β


Ejemplo:

En la figura mostrada se pide Hallar "x".
ejemplo propiedad de relacióin de ángulo interno y externo
Resolución:

En el triánguloAPC: "X" es un ángulo exterior , aplicamos la propiedad donde la suma de dos ángulos internos nos da el ángulo externo no adyacente a ellos.

entonces
x = 2Ɵ + Ɵ = 3Ɵ .... (1)


Hallando el valor de "Ɵ" en el triánguloABC,
aplicando la misma propiedad:

entonces
2Ɵ + 3Ɵ = 80°
5Ɵ = 80°
por lo tanto Ɵ = 16° .... (2)


Reemplazando (2) en (1):

entonces
x = 3Ɵ = 3(16°)

por lo tanto x = 48°


D) DESIGUALDAD TRIANGULAR

Se le conoce también como propiedad de existencia de un triángulo. En todo triángulo la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados, pero mayor que la diferencia de las longitudes de estas.


desigualdad triangular


Si a mayor igual que b mayor igual que c:

b - c < a < b + c


a - c < b < a + c


a - b < c < a + b


Ejemplo:

Hallar la suma de los valores posibles de “a” sí el triángulo ABC existe y “a” es un número entero.
Ejemplo de desigualdad triangular
Resolución:

En el triánguloABC: aplicamos la propiedad de desigualdad triangular para el lado lado AC

6 - 2 < a < 6 + 2
4 < a < 8


Por dato: "a" es un número entero
entonces
Valores que puede tomar "a": 5, 6, 7

Suma de Valores de "a" = 5 + 6 + 7

por lo tanto Suma de Valores de "a" = 18u


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